Непрекъснато експоненциално разпределение. Еднородни и експоненциални закони на разпределение на непрекъсната случайна променлива

Както бе споменато по-рано, примери за вероятностни разпределения непрекъсната случайна променлива X са:

равномерно разпределение на вероятностите на непрекъсната случайна величина;
експоненциално разпределение на вероятността на непрекъсната случайна величина;
нормална дистрибуция вероятности за непрекъсната случайна променлива.

Ще дадем концепцията за еднородни и експоненциални закони на разпределение, вероятностни формули и числени характеристики на разглежданите функции.

Индекс	Закон за разпределение на съотношението	Закон за експоненциално разпределение
Определение	*Униформа се нарича* разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива X, чиято плътност остава постоянна на даден сегмент и има формата	*Извиква се експоненциално (експоненциално)* разпределението на вероятностите на непрекъсната случайна променлива X, което се описва с плътност на формата
Определение		където λ е постоянна положителна стойност
*Функция на разпределение*
*Вероятност* удряйки интервала
*Очаквана стойност*
*Дисперсия*
*Стандартно отклонение*

Примери за решаване на задачи по темата "Еднородни и експоненциални закони на разпределение"

Цел 1.

Автобусите се движат строго по разписание. Интервалът на движение е 7 минути. Намерете: а) вероятността пътник, пристигащ на спирката, да изчака следващия автобус за по-малко от две минути; б) вероятността пътник, пристигащ на спирката, да изчака следващия автобус поне три минути; в) математическо очакване и стандартно отклонение на произволна променлива X - времето за изчакване на пътника.

Решение. 1. Чрез декларацията за проблема непрекъсната случайна променлива X \u003d (време на изчакване на пътника) равномерно разпределен между пристиганията на два автобуса. Дължината на интервала на разпределение на случайната променлива X е равна на b-a \u003d 7, където a \u003d 0, b \u003d 7.

2. Времето за изчакване ще бъде по-малко от две минути, ако случайната променлива X попадне в интервала (5; 7). Вероятността за удряне на даден интервал се намира по формулата: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р (5< Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Времето за изчакване ще бъде най-малко три минути (т.е. от три до седем минути), ако случайната променлива X попадне в интервала (0; 4). Вероятността за удряне на даден интервал се намира по формулата: P (x 1<Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
P (0< Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическото очакване на непрекъсната, равномерно разпределена случайна променлива X - времето на изчакване на пътника, се намира по формулата: M (X) \u003d (a + b) / 2... М (X) \u003d (0 + 7) / 2 \u003d 7/2 \u003d 3,5.

5. Средното квадратно отклонение на непрекъснатата, равномерно разпределена случайна променлива X - времето на изчакване на пътника, се намира по формулата: σ (X) \u003d √D \u003d (b-a) / 2√3... σ (X) \u003d (7-0) / 2√3 \u003d 7 / 2√3≈2.02.

Цел 2.

Експоненциалното разпределение е дадено при x ≥ 0 с плътност f (x) \u003d 5e - 5x. Необходимо е: а) да се напише израз за функцията за разпределение; б) намери вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1; 4); в) да се намери вероятността в резултат на теста X ≥ 2; г) изчислете M (X), D (X), σ (X).

Решение. 1. Тъй като условието е зададено експоненциално разпределение , тогава от формулата за вероятностната плътност на разпределение на случайната променлива X получаваме λ \u003d 5. Тогава функцията на разпределение ще има формата:

2. Вероятността в резултат на теста X да попадне в интервала (1; 4) ще се намери по формулата:
P (a< X < b) = e −λa − e −λb .
P (1< X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятността, че в резултат на теста X ≥ 2 ще бъде намерена по формулата: P (a< X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
P (X≥2) \u003d P (1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Намерете за експоненциално разпределение:

математическо очакване по формулата M (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 0,2;
дисперсия съгласно формулата D (X) \u003d 1 / λ 2 \u003d 1/25 \u003d 0,04;
стандартно отклонение съгласно формулата σ (X) \u003d 1 / λ \u003d 1/5 \u003d 1.2.

В базовите фактори ще свържем фактори от 1 до 7 с фактори от раздел VI. 3 в реда, в който са написани, тоест фактор 1 е отрязване, фактор 2 е симетрия и т.н. След това свързваме нивата + и - на факторите в таблицата. 4 с две нива на VI фактори. 3 на случаен принцип. Този случаен ред е постигнат чрез използване на таблица на случайни числа и сравняване на тези числа с 1/2. Резултатите от тази процедура са показани в табл. 5. Комбиниране на масата. 4 и 5 дава плана в началните фактори, дадени в табл. 6, където A1, (i \u003d 1, ..., 4) означават неизвестни случайни променливи, имащи експоненциално разпределение с параметър br - b. Като пример, помислете за комбинация 1 в таблица. 6. Фактори 1 и 2 са на ниво + в таблицата. 4. Следователно от таблица. 5 трябва да вземем пресечена, изкривена дистрибуция с опашки нагоре. Таблица 1 виждаме, че това разпределение е експоненциално разпределение на случайна променлива x. Фактор 6 е на ниво

В нашия случай обективните причини за технологичните продукти не позволяват използването на тези закони за разпространение. Първо, условието за получаване на нормален закон е съвместното действие на много случайни фактори, нито един от които не е доминиращ. Това не съответства на експлоатационните условия и отхвърлянето на продукти за технологични цели, където непременно се появяват доминиращи фактори. На второ място, експоненциалният закон изисква условията за обикновеност, стационарност и последствия, които често не са изпълнени за тези продукти. По-специално, потокът от откази не може да се счита за стационарен поради неговия вероятностен режим, който се променя във времето.

Такава информация отразява преобладаващите условия на производствените процеси и следователно представлява извадка от общото население. Въз основа на закона за големия брой може да се твърди, че ако общото население се подчинява на определен закон за разпределение, тогава извадката от тази популация, с достатъчно голям обем от него, ще се подчинява на този закон. Най-често този закон е непознат и дефиницията му създава значителни затруднения. В такива случаи се предпочитат добре познатите закони за разпределение, най-често експоненциални и нормални.

С една дума случайно ще имаме предвид, че вероятността една кола да пристигне на бензиностанция за всеки малък интервал от време, започващ в произволен времеви момент / и имаща дължина m, до незначителни стойности, е пропорционална на m с определен коефициент на пропорционалност X\u003e 0. Стойността на K може да се интерпретира като средния брой автомобили, които се появяват на гарата за единица време, а обратната му стойност 1L - като средното време на поява на една кола. Вероятността, че през този период от време няма да пристигне нито една кола, се счита за приблизително равна на 1 - m, а вероятността за пристигане на две или повече коли е незначителна в сравнение със стойността на Yal. От направените предположения могат да се направят следните заключения. Първо, интервалите от време / между две последователни пристигания на автомобили удовлетворяват експоненциалното разпределение

Загубите, произтичащи от работата на оборудването за автоматизация през този период, могат да бъдат изчислени въз основа на използването на теорията за надеждност, според която внезапните откази се определят като отказ на системата поради възникване на непредвидени, внезапни концентрации на външни товари и вътрешни напрежения, надвишаващи изчислените. Ако някои от елементите и връзките са направени или ремонтирани слабо, те ще се провалят при по-ниски натоварвания. Следователно отказите на дефектните елементи се разпределят експоненциално (разглежда се Поасоновият характер на разпределението на внезапните откази), със средно време на работа няколко пъти по-малко от това на другите елементи.

Експоненциално разпределение. Това разпределение, като правило, се подчинява на времето за работа на внезапни откази (т.е. откази поради латентни технологични дефекти) и разпределението на времето между две последователни откази, ако продуктите работят в стабилно състояние.

Нека разгледаме случая, когато изследваният параметър се разпределя съгласно експоненциалния закон.

Я. Б. Шор дава следната формула за определяне на доверителния интервал за общата средна стойност в случай на експоненциално разпределение на случайна променлива

Въпреки привидно ненатрапчивите условия, при които е получен последният израз, в теоретичен план за редица интересни случаи те се оказват непрактични. Това се случва, когато производната g (x) в точката x \u003d v стане безкрайност. По-специално, това е случаят с двустранното експоненциално разпределение, което вече сме срещали в примери 2 и 3 от. В една версия за конструиране на оптималното

В тази глава ще разгледаме най-често срещаните закони за разпределение на случайни променливи, както и основните параметри на тези закони. Ще бъдат дадени методи за намиране на функцията за разпределение на вероятностите на случайна променлива в случай на неинтегрируема плътност на вероятността, както и алгоритми за получаване на последователности на случайни променливи с произволен закон на разпределение, което е необходимо при моделиране на случайни процеси. Особено внимание ще се обърне на обобщеното експоненциално разпределение, което е най-полезно при изучаване на ценообразуването на активите.

Едно от най-важните разпределения, намерени в статистиката, е нормалното разпределение (разпределение на Гаус), което принадлежи към класа на експоненциално. Вероятностната плътност на това разпределение е

Друг вид експоненциално разпределение, заедно с нормалното, е разпределението на Лаплас, чиято плътност се изразява с формулата

Обобщено експоненциално разпределение.

По-рано в тази глава бяха разгледани два вида експоненциални разпределения на Гаус и Лаплас. Те имат много общи черти, симетрични са, зависят от два параметъра (//, s),

В VI. 2, ние ще опишем накратко MMD и целта на експеримента, т.е.изследването на чувствителността на MMD към нарушаване на неговите предпоставки. Във VI.3 ние обсъждаме подробно различните фактори, които могат да повлияят на тази чувствителност. Определяме анормалността на разпределението като фактор 1. Този фактор описва възможността или невъзможността случайните променливи да станат по-малки от дадена константа (т.нар. Пресечен фактор на разпределение), асиметрията и опашките на разпределението ще бъдат взети като фактор 2. Комбинирайки фактори 1 и 2, ние избираме четири типа разпределения (експоненциално , Erlang, претеглена разлика на две случайни променливи с експоненциално разпределение и сумата от разликите на случайни променливи с експоненциално разпределение). Херогенността на дисперсията ще бъде определена като фактор 3. Това означава, че дисперсията на най-добрата популация (afki) може да бъде или по-голяма или по-малка от дисперсията на конкуриращата се най-лоша популация (при най-неблагоприятната ситуация). Фактор 4 измерва дали двете вариации се различават значително или изобщо не. Фактор 5 показва дали вариациите на най-лошите популации (в най-неблагоприятната ситуация) са равни или всички са различни. Фактор 6 определя броя на популациите (три или седем), фактор 7 определя разстоянието 8 \u003d 6 между най-добрите и следващите популации в най-неблагоприятната ситуация. Разглежда се фактор P, който гарантира минималната стойност на вероятността за правилен избор

Такава информация е извадка от общата съвкупност, която има определен закон за разпределение. По-често този закон е непознат и дефиницията му създава конструктивни трудности. В такива случаи се предпочитат x\u003e oso известни закони на разпределение, най-често - експоненциални и нормални.

закони за разпределение. По-специално, за b \u003d 1 се превръща в експоненциален закон, за b \u003d 2 се превръща в закон на Рели, а за b \u003d 3.25 е близо до нормалното. Това обстоятелство дава възможност да се използва един и същ математически апарат при изследването на голямо разнообразие от потоци на повреда на продукта. Освен това това

В редица изследвания се твърди, че за повреди на технически продукти поради износване, умора, корозия и стареене нормалният или логаритмично нормален закон за разпределение ще бъде напълно задоволителен, но в случай на внезапни откази, произтичащи от случайни претоварвания, аварии и т.н., експоненциално закон за разпределение.

Универсалността на този закон се обяснява с факта, че за различни стойности на параметъра b той се доближава до редица закони на разпределение. По-специално, когато b \u003d се превръща в експоненциален закон, когато 6 \u003d 2 - в закон на Рейли, когато b \u003d 3.25 - е близо до нормалното.

В този пример разгледахме най-простия случай на входния поток на Poisson, експоненциално време за обслужване, инсталиране на един сървър. Всъщност разпределението е много по-сложно и бензиностанциите включват повече бензиностанции. За да се рационализира класификацията на системите за опашки, американският математик Д. Кендъл предложи удобна система за нотация, която стана широко разпространена досега. Кендъл определи типа система за опашки, използвайки три символа, първият от които описва вида на входния поток, вторият - вида на вероятностното описание на обслужващата система и третият - броя на обслужващите устройства. Символът М означаваше разпределението на Поасон на входния поток (с експоненциално разпределение на интервалите между претенциите), същият символ беше използван за експоненциално разпределение на продължителността на услугата. По този начин системата за опашки, описана и проучена в този раздел, има обозначението M / M / 1. Системата M / G / 3 например означава система с входен поток на Поасон, обща (на английски - обща) функция за разпределение на времето за обслужване и три сървъра. Съществуват и други обозначения: D е детерминирано разпределение на интервалите между исканията или продължителността на услугата, E е разпределение на Erlang от порядъка n и т.н.

Въз основа на методите, описани тук за изграждане на последователности от случайни числа с различни разпределения, е възможно да се конструират процедурите randl и rand2, които са използвани в програмата Algol за изчисления по модела на бензиностанция. Ако използваните случайни интервали между автомобилите и продължителността на услугата имат експоненциално разпределение, тогава е по-добре да се използва методът на обратната функция, а ако има някакво емпирично разпределение, тогава метод, базиран на съхраняване на дискретни стойности в RAM паметта на компютъра.

Нека да преминем към описанието на времето за сервиз на автомобила. Тъй като шофьорите приемат различни количества бензин и се различават по умения, времето за обслужване едва ли може да се счита за постоянно. Нека вероятността, че обслужването на автомобил, който е на бензиностанция във всеки момент t, ще бъде завършено в малък интервал U, f + rJ, е приблизително равна на JLIT, където u\u003e 0. Вероятността услугата да не приключи през този период от време се счита приблизително равна на 1 - ct, а вероятността услугата да бъде завършена е. баня от две или повече коли, - незначителна стойност. Тогава

Разпределението на непрекъсната случайна променлива X се нарича експоненциално, което се описва със следната диференциална функция

Експоненциалното разпределение за непрекъснати случайни променливи е аналогично на разпределението на Поасон за дискретни случайни променливи и има следната форма.

вероятността случайна променлива X да удари интервала (α; β)

Трябва да се отбележи, че ъптаймът се удовлетворява от експоненциалния закон и затова тази концепция често се използва в концепцията за надеждност.

Закон за нормалното разпределение (закон на Гаус)

Разпределението на случайна променлива X се нарича нормално, ако функцията на плътността на разпределение

Полученият израз не може да бъде изразен чрез елементарни функции, като такава функция, така нареченият вероятностен интеграл, за който се съставят таблици, най-често се използва като такава функция

Често според условието на задачата е необходимо да се определи вероятността случайна променлива X да удари областта, симетрична на математическото очакване.

Правило на три сигми Това правило често се използва за потвърждаване или отхвърляне на хипотезата за нормалното разпределение на случайна променлива.

Мат. статистика

Примерна сума:

Примерно средно:

Дисперсия на пробата:

където t i - честота.

Селективна RMS:

Емпирична функция на разпределение:

F * (x) \u003d P (X

F * (x) \u003d .

Точкови оценки:

Безпристрастна оценка на общата средна стойност ( мат.очаквания):

, x i - опция за вземане на проби, m i - опции за честота x i, - размер на извадката.

Предварителна оценка обща дисперсия - дисперсия на пробата:

, защото

.

Безпристрастна оценка обща дисперсия служи като "коригирана дисперсия":

. Когато n<30.

Коефициентът на вариация:

.

Централен момент да се-та поръчка:

.

Начален момент да се-та поръчка:

.

Асиметрия: , t 3 \u003d

Излишък: където t 4 \u003d

Средно за групата: .

Обща средна стойност: където .

Общо отклонение: .

Интервални оценки:

Доверителен интервал за мат.очаквания и нормално разпределено количество на характеристика х :

.

Тестът за добра форма на Pearson:

Ако броят на наблюденията е много голям, тогава законът за разпределението на ЮЗ не зависи от това на кой закон се подчинява общото население. Той се доближава до разпределението с да се степени на свобода и се нарича самият критерий критерий за съгласие на Пиърсън:

където да се - броя на интервалите на групирания ред, m i\u003e 0,05 n .

Брой степени на свобода: r \u003d k-p-1където да се - брой интервали, r - броят на параметрите на закона.

Ниво на значимост α:

α \u003d 0,05 и α \u003d 0,01.

Ако тогава Н 0 приети, т.е. приетият закон за разпределение е в съответствие с емпирични данни. В същото време грешим в 5 случая от 100, приемайки евентуално погрешна хипотеза (грешка от тип 2).

Ако тогава Н 0 отхвърлен, т.е. твърдяното право не отговаря на емпиричните данни. Освен това грешим в 1-ви случай от 100, отхвърляйки правилната хипотеза (грешка от 1-ви вид).

Ако , тогава имаме несигурност и могат да се използват други критерии.

Корелация

- сумата от честоти в iта колона;

- сумата от честоти в да се-ти ред;

- брой двойки (x i; y k).

Условно средно: .

Теоретични уравнения на регресионните линии:

.

Изчисляване на числени характеристики:

Индикаторът за стегнатост на корелацията е емпиричното съотношение на корелация:

където .

.

Имоти:

1. 0≤η≤1.

2. ако η \u003d 1, тогава y (x) е функционална връзка.

3. η \u003d 0, тогава няма връзка.

4. η≥ .

5. ако η = , тогава има точна линейна корелационна зависимост.

6. по-близо η до 0, колкото по-слаба е корелацията, толкова по-близо до 1, толкова по-силна е корелацията и в границата се превръща във функционална зависимост.

Коефициент на корелация:

.

Проверка на значимостта на корелационните параметри:

1. Проверка на значимостта на линейната корелация (значимост на регресията).

За големи размери на извадката коефициентът на корелация се подчинява на нормалния закон. При това .

2. Проверка на значението на регресията:

.

Ако τ п\u003e 2,58, тогава с 99% увереност може да се твърди, че зависимостта на корелацията е значителна (регресията е значителна). Тези. корелационната връзка съществува не само в извадката, но и в цялата генерална съвкупност.

τ п<1,96, то с уверенностью 95% можно утверждать, что корреляционная зависимость не явл. существенной, т.е. она характерна только для данной выборки и может не существовать в генеральной совокупности.

1,96<τ п< 2,58 – несущественная корреляционная зависимость.

3. Проверка на линейността на избрания модел (проверка на адекватността):

.

P \u003d 99% (α \u003d 0,01): t \u003d 2,58

P \u003d 95% (α \u003d 0,05): t \u003d 1,96

Ако стойността η y / x удовлетворява това неравенство, тогава избраният модел е адекватен, отговаря на емпирични данни.

Критерий на Фишър:

, p - брой наблюдения, да се - броят на интервалите по X.

На нива на значимост:

α \u003d 0,05 и α \u003d 0,01: F 0,05 (k-1; n-1); F 0,01 (k-1; n-k).

Ако F y / x
Проверка на значимостта на регресията:

, съгласно табл. F 0,01 (1; n-2), F 0,05 (1; n-2).

Ако F R\u003e F 0,01, тогава регресията е значителна, ако F R
Адекватност на модела на Фишер:

.

F 0,01 (k-2; n-k), F 0,05 (k-2; n-k).

Ако F A\u003e F 0,01, тогава моделът е неадекватен, ако F A
Критерий на Романовски:

където r - броят на стъпките на свободата. Ако ρ<3 , тогава несъответствието между теоретичното и емпиричното разпределение трябва да се счита за незначително.

Критерий за последователност на Калмагоров:

- най-голямата разлика в абсолютната стойност между натрупаните честоти на емпиричното и теоретичното разпределение.

да се - броят на интервалите.

От таблицата намираме съответната стойност на вероятността P (λ). Ако Р (λ)<0,05, то расхождение между распределениями существенно, оно не может быть вызвано случайными причинами. Чем ближе эта вероятность к 1, тем лучше теоретическое распределение согласовывается с эмпирическим.

Определение. Експоненциално (експоненциално)е вероятностното разпределение на непрекъсната случайна променлива X, което се описва с плътността

където l е положително число.

Нека намерим закона за разпределението.

Графики на разпределителната функция и плътността на разпределение:

f (x) F (x)

Нека намерим математическите очаквания на случайна променлива, предмет на експоненциално разпределение.

Резултатът се получава с помощта на факта, че

За да намерим дисперсията, намираме стойността M (X 2).

Интегрирайки по части два пъти, подобно на разглеждания случай, получаваме:

Тогава

Общо: Вижда се, че в случай на експоненциално разпределение математическите очаквания и стандартното отклонение са равни.

Също така е лесно да се определи вероятността случайна променлива, подчинена на закон за експоненциално разпределение, да попадне в даден интервал.

Експоненциалното разпределение се използва широко в теорията за надеждност.

Да си признаем, някои устройства започват да работят в момента t 0 \u003d 0, и след известно време т устройството се повреди.

Ние обозначаваме т непрекъсната случайна променлива - продължителността на времето на работа на устройството.

Така начин, функция за разпределение F (t) \u003d P (T определя вероятността от повреда за определен период от време т.

Вероятност обратното развитие(безпроблемна работа с течение на времето т) е равно на R (t) \u003d P (T\u003e t) \u003d 1 - F (t).

Определение. Функция за надеждностR (t) е функция, която определя вероятността за безпроблемна работа на устройството с течение на времето т.

Често на практика продължителността на ъптайма е предмет на експоненциален закон за разпределение.

В общи линии говорейки, ако помислете за ново устройство, тогава вероятността за отказ в началото на работата му ще бъде по-голяма, след това броят на отказите ще намалее и ще има практически същата стойност за известно време. Тогава (когато устройството свърши в експлоатация) броят на повредите ще се увеличи.

Други в думи, можем да кажем, че работата на дадено устройство през цялото му съществуване (по отношение на броя на отказите) може да бъде описана чрез комбинация от два експоненциални закона (в началото и в края на експлоатацията) и единния закон за разпределение.

Функцията за надеждност за всяко устройство с експоненциален закон на разпределение е:

Това съотношение се нарича експоненциален закон на надеждността.

Важен имот, което дава възможност за значително опростяване на решаването на проблемите на теорията за надеждността, е, че вероятността за безаварийна работа на устройството във времевия интервал т не зависи от времето на предишната работа преди началото на разглеждания интервал, а зависи само от продължителността на времето т.

Така начин, безпроблемната работа на устройството зависи само от степента на повреди l и не зависи от безпроблемната работа на устройството в миналото.

Тъй като подобно свойство притежава само експоненциален закон на разпределение, този факт ви позволява да определите дали законът за разпределение на случайна променлива е експоненциален или не.

2.8 Разпределение на хи-квадрат

Нека X i (i \u003d 1,2, ..., n) - нормални независими случайни променливи и математическото очакване на всяка от тях е нула, а стандартното отклонение е едно. Тогава сумата на квадратите на тези количества

разпределени съгласно закона ("Хи-квадрат") с k \u003d n степени на свобода; ако тези величини са свързани например с една линейна зависимост, тогава броят на степените на свобода k \u003d n-1.

Плътността на това разпределение

където -Гама функция; по-специално,

Оттук то се виждаче разпределението на хи-квадрат се определя от един параметър - броя на градусите на свобода k. С увеличаване на броя на степени на свобода, разпределението бавно се приближава до нормалното.

2.9 Разпределение на t на ученика

Нека Z е нормална случайна променлива, където M (Z) \u003d 0, s (Z) \u003d 1, а V е стойност, независима от Z, която се разпределя съгласно закона с k степени на свобода. Тогава количеството

има разпределение, наречено t-разпределение или разпределение на Student, k степени на свобода. Така че отношението на нормализираната нормална стойност към квадратния корен на независима случайна величина, разпределена според закона

« Хи-квадрат "с k степени на свободаразделено на k, разделено на k, разпределено по закона на Студент с k степени на свобода. ... С увеличаване на броя на степени на свобода, разпределението бавно се приближава до нормалното.

2.9 Нормален закон за разпределение

Определение. Нормалносе нарича вероятностно разпределение на непрекъсната случайна променлива, което се описва с вероятностната плътност

Нормалният закон за разпределение се нарича още закон на Гаус.

Законът за нормалното разпределение е от основно значение за теорията на вероятностите. Това се дължи на факта, че този закон се проявява във всички случаи, когато случайна променлива е резултат от голям брой различни фактори. Всички останали закони за разпределение се доближават до нормалния закон.

Мога лесно шоуче параметрите и включени в плътността на разпределение са съответно математическото очакване и стандартното отклонение на случайната променлива X.

Намерете функцията за разпределение F (x).

Графиката на плътността на нормалното разпределение се нарича нормална крива или крива на Гаус.

Нормалната крива има следните свойства:

1 ) Функцията е дефинирана по цялата числова ос.

2 ) За всички х функцията за разпределение приема само положителни стойности.

3 ) Оста OX е хоризонталната асимптота на графиката на плътността на вероятностите, тъй като с неограничено увеличение на абсолютната стойност на аргумента х, стойността на функцията клони към нула.

4 ) Намерете екстремума на функцията.

Защото в y ’\u003e 0 в х< m и ти< 0 в x\u003e m , след това в точката x \u003d t функцията има максимум, равен на.

5 ) Функцията е симетрична спрямо права линия x \u003d aот разлика

(x - a) е включена във функцията на квадратна плътност.

6 ) За да намерим точките на огъване на графиката, намираме второто производно на функцията на плътността.

Кога x \u003d m + s и x \u003d m - s втората производна е равна на нула и при преминаване през тези точки сменя знак, т.е. функцията има прегъване в тези точки.

Определение 2. хто има експоненциален (експоненциален)закон на разпределение с параметър, ако неговата вероятностна плътност има вид:

Функцията на разпределение на случайна променлива, разпределена според експоненциалния закон е

Наистина ли,

Кривата на разпределение и графиката на функцията за разпределение са показани по-долу:

За случайна променлива, разпределена според експоненциалния закон

Наистина ли,

Вероятността да попадне в интервала на непрекъсната случайна величина х, разпределен съгласно експоненциалния закон, се намира по формулата

Забележка 1.Експоненциалният закон на вероятностното разпределение се намира в много проблеми, свързани с най-простия поток от събития. Под поток от събитияразбират последователността от събития, случващи се едно след друго в произволни моменти. Например потокът от обаждания на телефонната централа, потокът от заявки в системата за опашки и т.н.

Често продължителността на ъптайма на даден елемент има експоненциално разпределение, чиято функция на разпределение е

определя вероятност за неуспехелемент с течение на времето т... Тук тЕ продължителността на времето на работа на елемента, λ е степента на отказите (средният брой откази за единица време).

Функция за надеждност

определя вероятността за безотказна работа на елемент за време т.

Пример 2. Установено е, че времето за поправка на магнетофоните е произволна променлива х, разпределени съгласно експоненциалния закон. Определете вероятността ремонтът на магнетофон да отнеме поне 15 дни, ако средното време за ремонт на магнетофон е 12 дни. Намерете плътността на вероятността, функцията на разпределение и стандартното отклонение на случайна променлива х.

Решение. По условие математическото очакване \u003d 12, откъдето параметърът и след това плътността на вероятността и функцията на разпределение имат формата :, (). Желаната вероятност може да бъде намерена с помощта на функцията за разпределение:

Стандартно отклонение на дните.

Пример 3. Тествани са три елемента, които работят независимо един от друг. Продължителността на ъптайма на елементите се разпределя според експоненциалния закон:

за първия артикул;

за втория;

за третия елемент.

Намерете вероятностите, че във времевия интервал (0; 5) часа ще се провалят: а) само един елемент; б) само два елемента; в) и трите елемента.

Решение. Вероятност за повреда на първия елемент

Вероятност за повреда на втория елемент

Вероятност за повреда на третия елемент

Търси вероятност

3. Нормално разпределение.В теорията на вероятностите и математическата статистика, така нареченото нормално или гаусово разпределение играе важна роля. Също така се използва широко при решаване на приложни проблеми. Значимостта на нормалното разпределение се определя от факта, че той служи като добро приближение за голям брой набори от случайни величини, получени от наблюдения и експерименти. Нормалното разпределение почти винаги се случва, когато наблюдаваните случайни променливи се формират под въздействието на голям брой случайни фактори, нито един от които не превъзхожда значително останалите.

Определение 3. Непрекъсната случайна променлива хто има нормално разпределение (закон на Гаус)с параметри ии σ, ако плътността на вероятността му има вид:

Извиква се кривата на закона за нормалното разпределение нормалноили гаусова крива.

Графиката на нормалната плътност на закона е камбановидна крива, която приема най-голямата си стойност в дадена точка и бързо намалява при.

Нека докажем това. Наистина ли

Използвайки неправилни двойни интеграли, може да се докаже това

Този интеграл се нарича интеграл на Поасон. Замествайки този резултат в последния израз, получаваме.

Трудността на директното намиране на функцията за разпределение на случайна променлива, разпределена съгласно нормалния закон, и вероятността за нейното попадане в определен интервал е свързана с факта, че интегралът на функция (15) не е взет в елементарните функции. Следователно, тя се изразява чрез функцията на Лаплас (интеграл от вероятности), за която се съставят таблиците.

Намерете функцията за разпределение на случайната променлива хразпределени съгласно нормалния закон:

Тъй като (интегрирането е четно).

По този начин,

За случайна променлива, разпределена според нормалния закон,

Нека разберем как ще се промени нормалната крива с променящите се параметри аи σ. Ако параметърът се промени а - центърът на симетрия на разпределението, тогава нормалната крива ще се измести по абсцисата, без да променя формата си.

Ако параметърът се промени - разпространението на стойностите на случайната променлива от центъра на симетрията на разпределението, тогава намалява с увеличаване, но тъй като площта под която и да е крива на разпределение трябва да остане равна на 1, тогава кривата става по-плоска, простираща се по оста Вол. Когато намалява, той се увеличава и нормалната крива се простира нагоре, докато се свива отстрани.

В съответствие със свойството на функцията за разпределение, вероятността за удряне на стойностите на нормална случайна променлива хв интервала се определя по формулата

4. Вероятността за дадено отклонение за нормално разпределение.Вероятността, че отклонението на случайна променлива х, разпределени според нормалния закон, от математическото очакване ине надвишава стойността (в абсолютна стойност), е равно на

« Правилото на трите сигма ": Ако случайна променлива X има нормален закон на разпределение с параметри a и, т.е. , тогава е практически сигурно, че неговите стойности са включени в интервала:

Отклонение в абсолютна стойност на нормално разпределено SV хповече от, е събитие почти невъзможно, защото вероятността му е много малка:

Защото Гаусовата крива е симетрична по отношение на математическото очакване, а след това коефициентът на изкривяване на нормалното разпределение. Куртоза с нормално разпределение Е\u003d 0 и стръмността на други разпределения се определя по отношение на нормалното.

Забележка 2. Случайна променлива, имаща нормално разпределение с параметри и се нарича стандартна (нормализирана) нормална случайна променлива, а нейното разпределение се нарича стандартно (нормализирано) нормално разпределение.

Плътността и стандартната нормална функция на разпределение се дават от формулите:

Пример 4. Определете закона за разпределение на случайна променлива х, ако неговата плътност на вероятността е дадена от функцията:

Намерете математическата функция за очакване, дисперсия и разпределение на случайна променлива х.

Решение. Сравнявайки тази функция с функцията на плътността на вероятността за случайна променлива, разпределена според нормалния закон, заключаваме, че случайната променлива хразпределени според нормалния закон с параметри и\u003d 1 и. И, следователно ,.

Пример 7. Височината на възрастните мъже е случайна величина, разпределена според нормалния закон. Нека неговото математическо очакване е 175 см, а стандартното отклонение - 6 см. Определете вероятността поне един от произволно избраните петима мъже да има височина от 170 до 180 см.

Решение. Нека намерим вероятността височината на мъжа да принадлежи на интервала (180; 170):

Тогава вероятността височината на мъжа да не принадлежи на интервала (170; 180) :. Вероятността поне един от 5 мъже да има височина от 170 до 180 см е равна на :.