Нека разгледаме серии, чиито членове имат произволни знаци; ще наричаме такива серии редуващи се(обърнете внимание, че в математическата литература термините редуващи се и редуващи се редове - такива редове ще бъдат обсъдени по-късно - означават едно и също нещо; но тук сме възприели терминологията, използвана от Н. С. Пискунов в неговото „Диференциално и интегрално смятане“ само за да съкратим нотацията : вместо думите „серия, чиито членове имат произволни знаци“ ще кажем „редуваща се серия“). Ако дадена серия има само краен брой отрицателни членове, тогава, отхвърляйки ги, можем да сведем въпроса до изучаване на серия с положителни членове. Същото важи и за серия, в която има само краен брой положителни членове. Следователно, очевидно ще приемем, че сред членовете на поредицата има безкраен брой както положителни, така и отрицателни членове.

Следната теорема е вярна

Теорема 30. 8.(тест за абсолютна конвергенция)

Нека е дадена серия с членове от произволни знаци. Ако серията се сближава

съставен от абсолютните стойности на неговите членове, тогава дадената серия се сближава. При което .

Определение 30.4.Ако редът се събира и редът се събира, тогава редът се извиква абсолютно конвергентен. Ако една серия се сближава и една серия се разминава, тогава тази серия се нарича условно (не абсолютно) конвергентни.

За да се определи абсолютната сходимост на дадена серия към серия от нейните модули, могат да се приложат критериите, които обсъдихме в предишния параграф. Но трябва да внимавате с признаците на разминаване: ако серия от модули се разминава, тогава оригиналната серия може да се сближи (условно). Единствените изключения са тестът на Д'Аламбер и радикалният тест на Коши, тъй като когато тези знаци заявяват разминаването на серията, това означава, че, но тогава и, което означава разминаване на серията.

Нека формулираме тези характеристики във връзка с редуващите се серии

Знак на Д'Аламбер. , Че

при д < 1 ряд сходится абсолютно,

при д> 1 ред се разминава,

при д=1 необходими са още изследвания.

Знакът на Коши е радикален.Ако за редуваща се серия има , Че

при К< 1 ряд сходится абсолютно,

при К> 1 ред се разминава,

при К= необходимо е 1 допълнително изследване

Пример. Ние изследваме конвергенцията на серията . Нека приложим към него теста на Коши: – серията се сближава абсолютно.

Сред редуващите се серии особена роля играят т.нар редуващи се редове. Редуваща се серия е серия, чиито членове имат последователно положителни и отрицателни знаци (вижте предишния пример). Такава серия обикновено се записва във формуляра

предполага се, че всичко a p > 0.

За редуващи се серии имаме

Теорема 30.9.(теорема на Лайбниц)

Ако членовете на редуваща се серия намаляват по абсолютна стойност, т.е. П | a n| >| a n+1 | и , тогава серията се събира. В този случай сумата на серията по абсолютна стойност не надвишава модула на първия член на серията, т.е. и има същия знак като първия член от серията.

Серия, която отговаря на условията на теоремата на Лайбниц, се нарича серия Лайбнициански тип.

Пример. Нека разгледаме сходимостта на редицата . Нека проверим дали са изпълнени условията на теорема 5.9: | a n| >| a n+1 |, наистина, > " П³1 и също , което означава, че редът се събира. И тъй като серията от абсолютни стойности на тази серия е различна хармонична серия, тогава оригиналната серия се сближава условно.

Коментирайте.Тъй като всеки остатък от серия от типа на Лайбниц също е серия от типа на Лайбниц, тогава в случай на конвергенция на серията, остатъкът от серията по абсолютна стойност не надвишава модула на първия член:

|Rn| = |S – S н| £ | a n +1 |.

Това е удобно за използване за оценка на точността на приблизителното изчисление на сумата от дадена серия.

РедетеНаречен променлив знак, ако сред членовете му има както положителни, така и отрицателни членове.

Нека направим серия от модули от членовете на тази серия:

Резултатът е положителна серия.

Достатъчен знак за конвергенцияпроменлив знак серия: ако серия, образувана от модулите на членовете на дадена редуваща се серия, се сближава, тогава тази серия също се сближава.

В този случай се извиква редуваща се серия абсолютно конвергентен.

Ако редуваща се серия се събира, но серия, съставена от модулите на нейните членове, се разминава, тогава редуващата се серия се нарича условно конвергентен.

Пример.Проверете серията за сходимост.

Решение. Тази поредица се редува, т.к грях нможе да бъде както положителен, така и отрицателен за различни н.

Нека направим поредица от модули от неговите членове:

Тази серия е положителна, така че може да се изследва с помощта на критерия за сравнение. Тъй като ≤ , и редът се сближава според критерия на д'Аламбер (виж параграф. 4.2.3.3. ). Това означава, че редът с по-малки членове също се сближава и този ред се сближава абсолютно.

Всеки е свикнал да мисли, че сумата не зависи от реда на членовете. И това е вярно, когато говорим за краен брой членове. С безкрайни количества, т.е. с редове, трябва да внимавате. Оказа се, сумата на серията може да варирапри промяна на реда на своите членове, ако редът се сближава условно. Нека демонстрираме това с примера на редуваща се хармонична серия.

Пример. Сумата от тази серия е известна:

В тази серия ще пренаредим термините, като се възползваме от факта, че има безкрайно много от тях:

Оказа се, че числото е равно на половината от него, т.е. абсурд. Това се случи, защото първоначалната серия беше условно сходна (в действителност, серия, съставена от модулите на нейните членове, е хармонична и се разминава) и за такава серия сумата може да зависи от реда на членовете. И, разбира се, за крайна сума такова пренареждане би било невъзможно, защото взехме един положителен член и два отрицателни члена в скоби и тогава отрицателните членове щяха да свършат по-бързо.

Между другото, с друго пренареждане беше възможно да се получи различен резултат. Например, ако поставите два положителни члена и един отрицателен член в скоби, тогава сумата ще бъде както следва:

За условно сходящи се редове е вярно следното: Теорема на Риман: чрез подходяща промяна на реда на членовете на неабсолютно конвергентна серия, може да се получи серия с предварително определена сума или дори дивергентна серия.

4.3.1. Редуващи се редове

Помислете за серията

Където всичко е > 0. Такава серия се нарича сигнализменен, и това е частен случай на редуваща се серия.

Достатъчен знакконвергенция на редуващите се редове ( Знак на Лайбниц): ако членовете на редуваща се серия монотонно намаляват по абсолютна стойност и общият член на серията клони към нула, тогава серията се сближава и нейната сума не надвишава първия член на серията.

Последица. Остатъкът от редицата по абсолютна стойност е по-малък от абсолютната стойност на първия член на остатъка. Това свойство се използва при приблизителни изчисления на функции, интеграли и др.

Доказателство.Нека напишем, например, частична сума от редица, състояща се от четен брой членове:

Тъй като по условие членовете на серията намаляват, всички скоби тук са положителни. И се оказва, че от една страна се увеличава с растежа к, а от друга страна, не надвишава първия член А 1 . Според теоремата на Болцано-Вайерщрас тя има граница.

Когато изучавате конвергенцията на редуваща се серия, първо трябва да използвате теста на Лайбниц и след това да проверите дали серията, съставена от модулите на членовете на тази серия, се сближава. След това направете заключение дали редицата се сближава абсолютно или условно.

Пример.Изследвайте сходимостта на редицата.

Решение.Тази серия се редува. Членовете на серията имат следните свойства:

1) модулите на членовете на реда намаляват монотонно: > > > ... ;също се разминава.

Оказа се, че оригиналната серия се сближава, но серията от модули се разминава. Следователно, оригиналната серия е условно сходяща.

Определение

Сериалът се наричапроменлив знак , ако съдържа както положителни, така и отрицателни членове.

Пример 16.Редове

,
,

се редуват.

Редуващите се серии очевидно са специален случай на редуващи се серии.

За редуващи се серии възниква въпросът за връзката между неговата конвергенция и конвергенцията на положителен ред .

ТЕОРЕМА 9 (Тест за абсолютна конвергенция)

Ако серията се сближава , тогава серията се събира .

Доказателство.От конвергенцията на серията по свойството на 3 сходни реда следва сходимостта на реда
. Наистина, тъй като
, Където
, тогава по първия критерий за сравнение редът се сближава
.

От това следва, че поредицата
също се сближава, тъй като е алгебричната сума на два сходящи се реда.

Доказаната теорема гласи достатъчен знак за конвергенция ред . Обратното твърдение по принцип не е вярно.

Дефиниции

Ако серията се сближава , след това сериала Нареченабсолютно конвергентен.

Ако редът се сближава, а серията се разминава, след това серията Нареченусловно конвергентен .

Пример 17.
.

Общият термин на тази серия
. защото
, след това сериала
се разминава, защото е серия на Дирихле, в която
. Редете
се сближава според критерия на Лайбниц. Следователно, изследваната серия се сближава условно.

Пример 18.Проверете серията за конвергенция
.

Тази серия се сближава абсолютно, тъй като серията
– сходящи се редове на Дирихле.

Когато се изучават редуващи се редове за конвергенция, може да се разсъждава според следната схема:

По-рано беше отбелязано, че в сериите с положителен знак членовете могат да бъдат пренаредени и групирани по произволен начин. При редуващи се серии, ако те се сближават абсолютно, това свойство се запазва. При условно сходните редове ситуацията е различна. Тук групирането или пренареждането на условията на серия може да наруши конвергенцията на серията. Например, ако положителните членове са изолирани от редуваща се условно сходяща серия, тогава получената серия може да се разминава. Това обстоятелство трябва да се има предвид и с условно сходящите се редове трябва да се работи много внимателно. За условно сходящи се редове е валидна следната теорема на Риман.

ТЕОРЕМА 10

Като промените реда на членовете в условно сходяща серия, можете да направите нейната сума равна на всяко предварително определено число и дори да направите серията разминаваща се.

Например, ако в серия
пренаредете условията, тогава серията може да бъде представена като

Така сумата от разглежданата серия е намалена наполовина. Това се случва, защото при условна конвергенция се получава взаимно премахване на положителни и отрицателни членове и следователно сумата на серията зависи от реда на членовете, но при абсолютна конвергенция на серията това не се случи.

Пример 19.Проверете серията за конвергенция
.

Тази серия се редува. Нека разгледаме серия, съставена от модулите на нейните членове, т.е. ред
. Използвайки теста на Коши, получаваме

Следователно тази серия се сближава абсолютно.

Функционална редица Функционална редица и нейната област на сходимост

Позволявам
,
,...,
,... – последователност от функции, дефинирани на определено множество
.

Определение

Вижте серия

, (14)

чиито членове са функции се наричафункционален .

Отдаване (14) различни числови стойности от набор
, ще получим различни серии от номера. По-специално, когато
от (14) получаваме числовата серия
. Тази числова серия може да бъде сходна или дивергентна. Ако се сближи, тогава Наречен точка на сближаване на функционалния ред (14) .

Множеството от всички точки на сходимост на една функционална серия се наричазона на конвергенция и го обозначаваме с
. очевидно,
. В специални случаи мн
може или не може да съвпада с много
или може да бъде и празното множество. В последния случай функционалната серия се разминава във всяка точка от множеството
.

Изглед към района
за произволна функционална серия може да бъде различна: цялата цифрова ос, интервал, комбинация от интервали и полуинтервали и др. В най-простите случаи, когато изучавате функционални серии за сходимост, можете да приложите обсъдените по-горе признаци за сходимост на числови серии, ако x се разбира като фиксирано число.

Дефиниции

Сума от първо членове на функционалната серия

Наречен
о частична сума , и функцията
, определени в района
,– сумата от функционалната серия .

Функция, дефинирана в обхват
, Нареченостаналата част от поредицата .

Функционалната серия се наричаабсолютно конвергентен на снимачна площадка
,ако във всяка точка
серия се събира
.

Определение 1

Числовият ред $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $, чиито членове имат произволни знаци (+), (?), се нарича редуващ се ред.

Алтернативните серии, обсъдени по-горе, са специален случай на редуващи се серии; Ясно е, че не всяка редуваща се серия е редуваща се. Например серията $1-\frac(1)(2) -\frac(1)(3) +\frac(1)(4) +\frac(1)(5) -\frac(1)(6 ) - \frac(1)(7) +\ldots - $ редуващи се, но не редуващи се серии.

Обърнете внимание, че в една редуваща се серия има безкрайно много членове както със знак (+), така и със знак (-). Ако това не е вярно, например, серията съдържа краен брой отрицателни членове, тогава те могат да бъдат отхвърлени и може да се разглежда серия, съставена само от положителни членове, и обратно.

Определение 2

Ако числовата поредица $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и нейната сума е равна на S, а частичната сума е равна на $S_n$, тогава $r_(n ) =S-S_( n) $ се нарича остатък от серията, а $\mathop(\lim )\limits_(n\to \infty) r_(n) =\mathop(\lim )\limits_(n\ до \infty ) (S-S_(n ))=S-S=0$, т.е. остатъкът от конвергентния ред клони към 0.

Определение 3

Серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се нарича абсолютно конвергентна, ако серията е съставена от абсолютните стойности на нейните членове $\sum \limits _(n=1 )^(\ infty )\left|u_(n) \right| $.

Определение 4

Ако редицата от числа $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_ (n )\десен| $, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се разминава, тогава първоначалната серия се нарича условно (не абсолютно) конвергентна.

Теорема 1 (достатъчен критерий за сходимост на редуващи се редове)

Променлив ред $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава и абсолютно, ако редът, съставен от абсолютните стойности на неговите членове, се сближава $\sum \limits _( n=1)^ (\infty )\left|u_(n) \right| $.

Коментирайте

Теорема 1 предоставя само достатъчно условие за сходимост на редуващи се редове. Обратната теорема не е вярна, т.е. ако променливата серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ се сближава, тогава не е необходимо серията, съставена от модулите $\sum \limits _(n=1) ^( \infty )\left|u_(n) \right| $ (може да бъде или конвергентен, или дивергентен). Например серията $1-\frac(1)(2) +\frac(1)(3) -\frac(1)(4) +...=\sum \limits _(n=1)^( \infty )\frac((-1)^(n-1) )(n) $ се сближава според критерия на Лайбниц и серията, съставена от абсолютните стойности на неговите членове $\sum \limits _(n=1 )^(\infty ) \, \frac(1)(n) $ (хармонична серия) се разминава.

Имот 1

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ е абсолютно конвергентна, тогава тя се сближава абсолютно за всяко пермутиране на нейните членове и сумата на серията не зависи от ред на термините. Ако $S"$ е сумата от всички негови положителни членове, а $S""$ е сумата от всички абсолютни стойности на отрицателните членове, тогава сумата от серията $\sum \limits _(n=1) ^(\infty )u_(n) $ е равно на $S=S"-S""$.

Имот 2

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ е абсолютно сходна и $C=(\rm const)$, тогава серията $\sum \limits _(n= 1)^ (\infty )C\cdot u_(n) $ също е абсолютно конвергентен.

Имот 3

Ако серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )u_(n) $ и $\sum \limits _(n=1)^(\infty )v_(n) $ са абсолютно сходни, тогава сериите $\sum \limits _(n=1)^(\infty )(u_(n) \pm v_(n)) $ също са абсолютно сходни.

Свойство 4 (теорема на Риман)

Ако редицата е условно сходяща се, тогава без значение какво число А вземем, можем да пренаредим членовете на тази редица така, че нейната сума да се окаже точно равна на А; Освен това е възможно да се пренаредят членовете на условно конвергентен ред, така че след това той да се разминава.

Пример 1

Разгледайте серията за условна и абсолютна конвергенция

\[\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n .\] !}

Решение. Тази серия е редуваща се, чийто общ член ще бъде означен с: $\frac((-1)^(n) \cdot 9^(n) )(n =u_{n} $. Составим ряд из абсолютных величин $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ и применим к нему признак Даламбера. Составим предел $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } $, где $a_{n} =\frac{9^{n} }{n!} $, $a_{n+1} =\frac{9^{n+1} }{(n+1)!} $. Проведя преобразования, получаем $\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{a_{n+1} }{a_{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n+1} \cdot n!}{(n+1)!\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9^{n} \cdot 9\cdot n!}{n!\cdot (n+1)\cdot 9^{n} } =\mathop{\lim }\limits_{n\to \infty } \frac{9}{n+1} =0$. Таким образом, ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left|u_{n} \right| =\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{9^{n} }{n!} $ сходится, а значит, исходный знакопеременный ряд сходится абсолютно.Ответ: ряд $\sum \limits _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n} \cdot 9^{n} }{n!} $ абсолютно сходится.!}

Пример 2

Разгледайте серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за абсолютна и условна конвергенция.

1. Нека разгледаме серията за абсолютна конвергенция. Нека обозначим $\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) =u_(n) $ и съставим поредица от абсолютни стойности $a_(n) =\ ляво|u_(n) \right|=\frac(\sqrt(n))(n+1) $. Получаваме серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\left|u_(n) \right| =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n) )(n+1) $ с положителни членове, към които прилагаме граничния тест за сравняване на серии. За сравнение със серията $\sum \limits _(n=1)^(\infty )a_(n) =\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, \frac(\sqrt(n ) )(n+1) $ разгледайте серия, която има формата $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\, b_(n) =\sum \limits _(n=1)^( \infty )\, \frac(1)(\sqrt(n) ) \, $. Този ред е ред на Дирихле с показател $p=\frac(1)(2)
2. След това разглеждаме оригиналната серия $\sum \limits _(n=1)^(\infty )\frac((-1)^(n) \cdot \sqrt(n) )(n+1) $ за условно конвергенция. За целта проверяваме изпълнението на условията на теста на Лайбниц. Условие 1): $u_(n) =(-1)^(n) \cdot a_(n) $, където $a_(n) =\frac(\sqrt(n) )(n+1) >0$ , т.е. тази серия се редува. За да проверим условие 2) за монотонното намаляване на членовете на реда, използваме следния метод. Разгледайте спомагателната функция $f(x)=\frac(\sqrt(x) )(x+1) $, дефинирана в $x\in:

   f 1 (х), f 2 (х), f 3 (х) … f н (х), ….

   Приемайки тези функции като членове на серията, ние формираме серията:

   f 1 (х) + f 2 (х) + f 3 (х) + … + f н (х) + …, (1)

   което се нарича функционален диапазон.

   Например: sin(x) + sin(2x) + sin(3x) + … + sin(nx) + …

   В конкретен случай функционалната серия е серия:

   което се нарича степенни редове, Където
   постоянни номера извик коефициенти на членовете на степенния ред.

   Степенният ред може да бъде написан и в следната форма:

   Където
   някакво постоянно число.

   При определена фиксирана или числова стойност хполучаваме редица от числа, които могат да бъдат сходни или разминаващи се.

   Определение : Набор от всички стойности х(или всички точки хчислова линия), за която степенният ред се събира, се нарича област на сходимост на степенния ред.

   Пример 1.

   Намерете областта на сближаване на степенния ред:

   Решение (1 начин).

   Нека приложим теста на д'Аламбер.

   
   

   

   Тъй като тестът на д'Аламбер е приложим само за серии с положителни членове, тогава изразът под знака за граница се приема в абсолютна стойност.

   Според теста на д'Аламбер редица се събира, ако
   И
   .

   Тези. редът се сближава, ако < 1, откуда
   или -3< х<3.

   

   Получаваме интервала на сходимост на този степенен ред: (-3;3).

   В крайните точки на интервала х =
   , ще има
   .

   В този случай теоремата на д'Аламбер не дава отговор на въпроса за сходимостта на редицата.

   Разглеждаме серията за конвергенция в гранични точки:

   х = -3,

   Получаваме знака на редуващите се серии. Ние го изследваме за конвергенция, използвайки критерия на Лайбниц:

   1.
   членовете на реда, взети по абсолютна стойност, намаляват монотонно.

   2.
   Следователно редът се събира в точката x = -3.

   х = 3,

   Получаваме положителна серия. Нека приложим интегралния тест на Коши за сходимост на редицата.

   членовете на реда намаляват монотонно.

   функция
   между
   :

   
   

   .

   Неправилният интеграл се разминава, което означава, че редицата в точката x=3 се разминава.

   Отговор:

   Втори начинопределянето на областта на сближаване на степенен ред се основава на прилагането на формулата за радиуса на сближаване на степенен ред:

   , Където И
   коефициенти И
   членове на поредицата.

   За тази серия имаме:
   

   . Р=3.

   

   серия се събира

   Интервал на конвергенция на серията: -3< х<3.

   След това, както в предишния случай, трябва да изследваме граничните точки: х =
   .

   Отговор:област на сходимост на серията [-3;3).

   Забележи, чече вторият начин за определяне на областта на сближаване на степенен ред е използването на формулата за радиуса на сближаване на реда
   по-рационален.

   Пример 2.

   Намерете областта на сближаване на степенния ред:
   .

   Ще намерим Р– радиус на сходимост на реда.

   ,
   ,
   .

   .
   .

   Интервал на конвергенция на серията (- ;).

   Изследваме серията за сходимост в точки х = -И х = .

   х = - ,

   Получаваме знака на редуващите се серии. Нека приложим теста на Лайбниц:

   1.
   членовете на реда, взети по абсолютна стойност, намаляват монотонно.

   2.
   , следователно серията в точка x = - се сближава.

   x = ,
   .

   Имаме спор с положителни членове. Нека приложим интегралния тест на Коши.

   Тук
   :

   , членове на поредицата
   намалява монотонно.

   функция
   между
   :

   
   

   .

   Неправилният интеграл се разминава, редът се разминава.

   Отговор: [-;) – област на сходимост на серията.