(Кратка теоретична информация)

Енергия на взаимодействие на точкови заряди

Енергията на взаимодействие на система от точкови заряди е равна на работата на външни сили за създаване на тази система (виж фиг. 1) чрез бавно (квазистатично) движение на заряди от точки, безкрайно отдалечени една от друга, до определени позиции. Тази енергия зависи само от крайната конфигурация на системата, но не и от начина, по който е създадена тази система.

Въз основа на това определение може да се получи следната формула за енергията на взаимодействие на два точкови заряда, разположени във вакуум на разстояние r 12 един от друг:

. (1)

Ако системата съдържа три неподвижни точкови заряда, тогава енергията на тяхното взаимодействие е равна на сумата от енергиите на всички взаимодействия между двойки:

където r 12 - разстоянието между първия и втория, r 13 - между първия и третия, r 23 - между второто и третото зареждане. Електрическата енергия на взаимодействие на системата се изчислява по подобен начин от нточкови такси:

Например, за система от 4 заряда, формула (2) съдържа 6 члена.

Електрическа енергия на заредени проводници

Електрическата енергия на единичен зареден проводник е равна на работата, която трябва да се извърши, за да се приложи даден заряд към проводника, като се движи бавно на безкрайно малки порцииот безкрайност, където първоначално тези части от заряда не са взаимодействали. Електрическата енергия на единичен проводник може да се изчисли по формулата

, (3)

където q- зарядът на проводника,  - неговият потенциал. По-специално, ако зареден проводник има формата на топка и се намира във вакуум, тогава неговият потенциал
и, както следва от (3), електрическата енергия е равна на

,

където Р- радиусът на топката, q- неговата такса.

Електрическата енергия на няколко заредени проводника се определя по подобен начин - тя е равна на работата на външни сили за прилагане на тези заряди към проводниците. За електрическата енергия на системата от нзаредени проводници, можете да получите формулата:

, (4)

където и - заряд и потенциал - ти диригент. Имайте предвид, че формулите (3), (4) са валидни и в случай, когато заредените проводници не са във вакуум, а в изотропен неутрален диелектрик.

Използвайки (4), изчисляваме електрическото енергия на зареден кондензатор... Означаващ заряда на положителната плоча q, неговия потенциал  1 и потенциала на отрицателната плоча  2, получаваме:

,

където
- напрежение на кондензатора. Имайки предвид това
, формулата за енергията на кондензатор също може да бъде представена във формата

, (5)

където ° СТова е капацитетът на кондензатора.

Собствена електрическа енергия и енергия на взаимодействие

Да разгледаме електрическата енергия на две проводящи топки, чиито радиуси Р 1 , Р 2 и такси q 1 , q 2. Ще приемем, че топките са разположени във вакуум на разстояние, голямо в сравнение с техните радиуси лна части. В този случай разстоянието от центъра на едната топка до която и да е точка от повърхността на другата е приблизително равно на ла потенциалите на топките могат да бъдат изразени с формулите:

,
.

Намираме електрическата енергия на системата с помощта на (4):

.

Първият член в получената формула е енергията на взаимодействие на зарядите, разположени върху първата топка. Тази енергия се нарича собствена електрическа енергия (първа топка). По същия начин, вторият член е собствената електрическа енергия на втората топка. Последният член е енергията на взаимодействието на зарядите на първата топка със зарядите на втората.

В
електрическата енергия на взаимодействие е значително по-малка от сумата на собствените енергии на топките, но когато разстоянието между топките се промени, собствените енергии остават практически постоянни и промяната в общата електрическа енергия е приблизително равна на промяната в енергията на взаимодействието. Това заключение е валидно не само за проводящи топки, но и за заредени тела с произволна форма, разположени върху голямо разстояниеедин от друг: приращението на електрическата енергия на системата е равно на увеличението на енергията на взаимодействие на заредените тела на системата:
... Енергия на взаимодействие
тела, отдалечени едно от друго, не зависи от тяхната форма и се определя по формула (2).

При извеждане на формули (1), (2) всеки от точковите заряди се разглеждаше като нещо цяло и неизменно. Отчита се само работата, извършена при приближаването на такива неизменни заряди, но не и при тяхното формиране. Напротив, при извеждането на формули (3), (4), ние също взехме предвид извършената работа при прилагане на такси q икъм всяко от телата на системата чрез пренасяне на електричество на безкрайно малки порции от безкрайно отдалечени точки. Следователно формули (3), (4) определят общата електрическа енергия на системата от заряди, а формули (1), (2) само електрическата енергия на взаимодействието на точковите заряди.

Обемна енергийна плътност на електрическото поле

Електрическата енергия на плосък кондензатор може да бъде изразена чрез силата на полето между неговите плочи:

,

където
- количеството пространство, заето от полето, С- площта на плочите, д- разстоянието между тях. Оказва се, че чрез напрежението е възможно да се изрази електрическа енергия и произволна система от заредени проводници и диелектрици:

, (5)

,

и интегрирането се извършва по цялото пространство, заето от полето (приема се, че диелектрикът е изотропен и
). Количеството wпредставлява електрическа енергия на единица обем. Формата на формула (5) предполага, че електрическата енергия се съдържа не във взаимодействащите заряди, а в тяхното електрическо поле, което запълва пространството. В рамките на електростатиката това предположение не може да бъде проверено експериментално или теоретично, но разглеждането на променливи електрически и магнитни полета дава възможност да се провери правилността на такава интерпретация на полето на формула (5).

Лекция 2.6.

Енергия на взаимодействие на заряди

Да разгледаме система от две точкови заряди. Енергията на взаимодействието може да се интерпретира като енергията на първия заряд в полето на втория (виж (2.1.3))

Тъй като и двете представяния са равни, енергията на взаимодействие на тези заряди може да се запише по следния начин

където - и-ти точков заряд на системата, е потенциалът на полето, създадено от всички други заряди на системата, освен и- че в точката, където се намира зарядът.

Ако зарядите се разпределят непрекъснато, тогава, представяйки системата от заряди като набор от елементарни заряди и пристъпвайки към интегриране, получаваме израза

където е енергията на взаимодействие на елементарните заряди на първата топка един с друг, е енергията на взаимодействие на елементарните заряди на втората топка помежду си, е енергията на взаимодействие на елементарните заряди на първата топка с елементарни заряди на втората топка. Енергия и обаждане собствени енергиитакси и. Енергия се нарича енергия на взаимодействиетакси и.

Енергия на единичен проводник и кондензатор

Нека проводникът има заряд и потенциал. Енергията на проводника. Тъй като проводникът е еквипотенциална област, потенциалът се отстранява от интегралния знак. Накрая

Енергия на кондензатора.

Нека и е зарядът и потенциалът на положително заредената плоча, и и - съответно отрицателен. Тогава енергията на кондензатора, като се вземе предвид и ще бъде записана

Енергия на електрическото поле.

Физическият смисъл на енергията на кондензатора не е нищо повече от енергията на електрическо поле, концентрирано вътре в него... Нека получим израз за енергията на плосък кондензатор по отношение на напрежението. Ще пренебрегнем ръбовите ефекти. Ще използваме формулата и израза за капацитета на плосък кондензатор.

Интегралната функция тук има значението на енергията, съдържаща се в обема. Това води до важна идея за локализация на енергията в самото поле.

Това предположение се потвърждава в полето на променливите полета. Това са променливите полета, които могат да съществуват независимо от електрическите заряди, които ги възбуждат и се разпространяват в пространството под формата на електромагнитни вълни, които пренасят енергия.

По този начин енергийният носител е самото поле.

Анализирайки последния израз, можем да въведем обемната енергийна плътност, т.е. енергия, съдържаща се в единица обем

Получихме (2.6.8) и (2.6.9) в частния случай на хомогенен изотропен диелектрик в еднородно електрическо поле. В този случай векторите и са съпосочени и можем да пишем

В рамките на електростатиката е невъзможно да се даде отговор на въпроса къде е концентрирана енергията на кондензатора. Полетата и зарядите, които ги формират, не могат да съществуват изолирано. Те не могат да бъдат разделени. Редуващите се полета обаче могат да съществуват независимо от зарядите, които ги възбуждат (лъчение от слънцето, радиовълни, ...) и те пренасят енергия. Тези факти ни принуждават да го признаем носителят на енергия е електростатично поле .

Когато електрическите заряди се движат, силите на кулоновото взаимодействие извършват определена работа d А... Работата, извършена от системата, се определя от намаляването на енергията на взаимодействие -d Утакси

Енергия на взаимодействие на два точкови заряда q 1 и q 2 от разстояние r 12, е числено равно на работата по преместване на заряда q 1 в областта на стационарния заряд q 2 от точка с потенциал до точка с потенциал:

Удобно е да се запише енергията на взаимодействие на два заряда в симетричен вид

.

(5.5.3)

За система от нточкови заряди (фиг.5.14) поради принципа на суперпозиция за потенциала, в точката на местоположение кто зареждане, можете да напишете:

Тук φ к , и- потенциал ита такса в точката на местоположение кто зареждане. Сумата изключва потенциала φ к , к, т.е. ефектът на заряда върху себе си, който е равен на безкрайност за точков заряд, не се взема предвид.

Тогава взаимната енергия на системата нтаксите са равни на:

(5.5.4)

Тази формула е валидна само ако разстоянието между зарядите значително надвишава размерите на самите заряди.

Нека изчислим енергията на зареден кондензатор. Кондензаторът се състои от две първоначално незаредени пластини. Постепенно ще извадим заряда d от долната плоча qи го прехвърлете върху горната плоча (фиг. 5.15).

В резултат на това между плочите възниква потенциална разлика. Всяка част от заряда пренася елементарна работа

Използвайки определението за капацитет, получаваме

Общата работа, изразходвана за увеличаване на заряда на плочите на кондензатора от 0 до q, е равно на:

Тази енергия може да се запише и като

Силите на взаимодействие на електрическите заряди са консервативни, следователно системата от електрически заряди има потенциална енергия.

Нека са дадени два точкови фиксирани заряда q 1 и q 2, разположени на разстояние rна части. Всеки от зарядите в полето на друг заряд има потенциална енергия

; , (4.1)

където j 1,2 и j 2,1 са съответно потенциалите, създадени от заряда q 2 в точката, където зарядът q 1 и зарядът q 1 в точката, където се намира зарядът q 2.

, а . (4.3)

следователно,

. (4.4)

За да могат и двата заряда да влязат симетрично в енергийното уравнение на системата, изразът (4.4) може да се запише във вида

. (4.5)

Добавяйки последователни заряди q 3, q ​​4 и т.н. към системата от заряди, може да се уверите, че в случай на N заряди, потенциалната енергия на системата

, (4.6)

където j i е потенциалът, създаден в точката, където q i се намира от всички заряди, с изключение на i-тия.

При непрекъснато разпределение на зарядите в елементарния обем dV има заряд dq = r × dV. За да се определи енергията на взаимодействие на заряда dq, може да се приложи формула (4.6), преминавайки в нея от сбора към интеграла:

, (4.7)

където j е потенциалът в точката на елемента на обема dV.

Трябва да се отбележи, че има фундаментална разлика между формулите (4.6) и (4.7). Формулата (4.6) отчита само енергията на взаимодействие между точковите заряди, но не отчита енергията на взаимодействие на зарядните елементи на всеки от точковите заряди един с друг (собствена енергия на точков заряд). Формулата (4.7) отчита както енергията на взаимодействие между точковите заряди, така и собствената енергия на тези заряди. При изчисляване на енергията на взаимодействие на точковите заряди тя се свежда до интеграли по обема V i на точковите заряди:

, (4.8)

където j i е потенциалът във всяка точка от обема на заряда на i-тата точка;

j i = j i О + j i с, (4.9)

където j i ¢ - потенциал, създаден от други точкови заряди в същата точка;

j i с - потенциал, създаден от части от заряда на i-тата точка в дадена точка.

Тъй като точковите заряди могат да бъдат представени като сферично симетрични, тогава

(4.10)

където W ¢ се определя по формула (4.6).

Стойността на собствената енергия на зарядите зависи от законите за разпределение на зарядите и от големината на зарядите. Например за равномерно сферично разпределение на заряди с повърхностна плътност s

.

следователно,

. (4.11)

От формула (4.11) се вижда, че при R®0 стойността на W c ® ¥. Това означава, че собствената енергия на точков заряд е равна на безкрайност. Това води до сериозни недостатъци на концепцията за "точков заряд".

По този начин, формула (4.6) може да се използва за анализ на взаимодействието на точковите заряди, тъй като не съдържа тяхната собствена енергия. Формулата (4.7) за непрекъснато разпределение на заряда отчита цялата енергия на взаимодействие, следователно е по-обща.

При наличие на повърхностни заряди формата на формула (4.7) се променя донякъде. Интегралното число на тази формула е и има значението на потенциалната енергия, която зарядният елемент dq притежава, намирайки се в точка с потенциал j. Тази потенциална енергия не зависи от това дали dq е елемент от пространство или повърхностен заряд. Следователно за повърхностното разпределение dq = s × dS. Следователно за енергията на полето на повърхностните заряди

Нека два точкови заряда q 1 и q 2 са във вакуум на разстояние r един от друг. Може да се покаже, че потенциалната енергия на тяхното взаимодействие се дава по формулата:

W = kq 1 q 2 / r (3)

Приемаме формула (3) без доказателство. Трябва да се обсъдят две характеристики на тази формула.

Първо, къде е нивото на нулевата потенциална енергия? В крайна сметка потенциалната енергия, както се вижда от формула (3), не може да изчезне. Но всъщност нулевото ниво съществува и то е в безкрайност. С други думи, когато зарядите са разположени на безкрайно разстояние един от друг, потенциалната енергия на тяхното взаимодействие се приема за нула (което е логично – в този случай зарядите вече не „взаимодействат“). Второ, q 1 и q 2 отново са алгебрични количества заряди, т.е. такси, като се вземе предвид техният знак.

Например, потенциалната енергия на взаимодействието на два едноименни заряда ще бъде положителна. Защо? Ако ги пуснем, те ще започнат да се ускоряват и да се отдалечават един от друг.

Тяхната кинетична енергия се увеличава, следователно потенциалната енергия намалява. Но в безкрайност потенциалната енергия изчезва и тъй като намалява до нула, това означава, че е положителна.

Но потенциалната енергия на взаимодействие на различни заряди се оказва отрицателна. Наистина, нека ги премахнем на много голямо разстояние един от друг - така че потенциалната енергия да е нула - и да ги пуснем. Зарядите ще започнат да се ускоряват, приближавайки се, а потенциалната енергия отново намалява. Но ако беше нула, тогава къде трябва да се спусне? Само към отрицателни стойности.

Формула (3) също помага да се изчисли потенциалната енергия на система от заряди, ако броят на зарядите е повече от два. За да направите това, трябва да сумирате енергиите на всяка двойка заряди. Няма да изписваме обща формула; Нека по-добре илюстрираме казаното с прост пример, показан на фиг. осем

Ориз. осем.

Ако зарядите q 1, q 2, q 3 са във върховете на триъгълник със страни a, b, c, тогава потенциалната енергия на тяхното взаимодействие е равна на:

W = kq 1 q 2 / a + kq 2 q 3 / b + kq 1 q 3 / c

Потенциал

От формулата W = - qEx виждаме, че потенциалната енергия на заряда q в еднородно поле е право пропорционална на този заряд. Виждаме същото от формулата W = kq 1 q 2 / r потенциалната енергия на заряда q 1, разположен в полето на точков заряд q 2, е право пропорционална на големината на заряда q 1. Оказва се, че това е общ факт: потенциалната енергия W на заряд q във всяко електростатично поле е право пропорционална на стойността на q:

Величината q вече не зависи от заряда, е характеристика на полето и се нарича потенциал:

И така, потенциалът на еднородно поле E в точка с абциса x е равен на:

Припомнете си, че оста X съвпада с линията на силата на полето. Виждаме, че потенциалът намалява с увеличаване на x. С други думи, векторът на силата на полето показва посоката на намаляване на потенциала. За потенциала на полето на точков заряд q на разстояние r от него имаме:

Мерната единица за потенциал е добре познатият волт. От формула (5) виждаме, че B = J / C.

И така, сега имаме две характеристики на полето: сила (интензивност) и енергия (потенциал). Всеки от тях има своите предимства и недостатъци. Коя характеристика е по-удобна за използване зависи от конкретната задача.