(Informații teoretice scurte)

Energia de interacțiune a sarcinilor punctiforme

Energia de interacțiune a unui sistem de sarcini punctiforme este egală cu munca forțelor externe pentru a crea acest sistem (vezi Fig. 1) printr-o mișcare lentă (cvasi-statică) a sarcinilor de la puncte infinit îndepărtate unele de altele către poziții specificate. Această energie depinde doar de configurația finală a sistemului, dar nu și de modul în care a fost creat acest sistem.

Pe baza acestei definiții, se poate obține următoarea formulă pentru energia de interacțiune a două sarcini punctiforme situate în vid la distanță r 12 unul de celălalt:

. (1)

Dacă sistemul conține trei sarcini punctiforme staționare, atunci energia interacțiunii lor este egală cu suma energiilor tuturor interacțiunilor perechilor:

Unde r 12 - distanța dintre primul și al doilea, r 13 - între primul și al treilea, r 23 - între a doua și a treia acuzație. Energia electrică de interacțiune a sistemului se calculează în mod similar din N taxe punctuale:

De exemplu, pentru un sistem de 4 sarcini, formula (2) conține 6 termeni.

Energia electrică a conductoarelor încărcate

Energia electrică a unui conductor solitar încărcat este egală cu munca care trebuie făcută pentru a aplica o sarcină dată conductorului, mișcându-l încet. în porții infinit de mici de la infinit, unde inițial aceste părți ale încărcăturii nu au interacționat. Energia electrică a unui conductor solitar poate fi calculată prin formula

, (3)

Unde q- sarcina conductorului,  - potenţialul acestuia. În special, dacă un conductor încărcat are forma unei bile și este situat în vid, atunci potențialul său
și, după cum rezultă din (3), energia electrică este egală cu

,

Unde R- raza mingii, q- taxa sa.

Energia electrică a mai multor conductori încărcați este determinată într-un mod similar - este egală cu munca forțelor externe pentru a aplica aceste sarcini conductoarelor. Pentru energia electrică a sistemului din N conductoare încărcate, puteți obține formula:

, (4)

Unde și - sarcina si potentialul - al-lea conductor. Rețineți că formulele (3), (4) sunt valabile și în cazul în care conductorii încărcați nu sunt în vid, ci într-un dielectric neutru izotrop.

Folosind (4), calculăm electricitatea energia condensatorului încărcat... Desemnând sarcina plăcii pozitive q, potențialul său  1 și potențialul plăcii negative  2, obținem:

,

Unde
- tensiunea pe condensator. Având în vedere că
, formula pentru energia unui condensator poate fi reprezentată și în formă

, (5)

Unde C Este capacitatea condensatorului.

Energie electrică proprie și energie de interacțiune

Luați în considerare energia electrică a două bile conducătoare, ale căror raze sunt R 1 , R 2, și taxe q 1 , q 2. Vom presupune că bilele sunt situate în vid la o distanță mare față de razele lor lîn afară. În acest caz, distanța de la centrul unei bile până la orice punct de pe suprafața celeilalte este aproximativ egală cu l iar potențialele bilelor pot fi exprimate prin formulele:

,
.

Găsim energia electrică a sistemului utilizând (4):

.

Primul termen din formula rezultată este energia de interacțiune a sarcinilor situate pe prima bilă. Această energie se numește propria sa energie electrică (prima bilă). În mod similar, al doilea termen este energia autoelectrică a celei de-a doua bile. Ultimul termen este energia de interacțiune a sarcinilor primei mingi cu sarcinile celei de-a doua.

La
energia electrică de interacțiune este semnificativ mai mică decât suma energiilor proprii ale bilelor, totuși, atunci când distanța dintre bile se modifică, auto-energiile rămân practic constante și modificarea energiei electrice totale este aproximativ egală cu modificarea energia de interacțiune. Această concluzie este valabilă nu numai pentru bile conducătoare, ci și pentru corpurile încărcate de formă arbitrară situate pe distanta mare unul față de celălalt: creșterea energiei electrice a sistemului este egală cu creșterea energiei de interacțiune a corpurilor încărcate ale sistemului:
... Energia interacțiunii
corpurile îndepărtate unele de altele nu depinde de forma lor și este determinată de formula (2).

La derivarea formulelor (1), (2), fiecare dintre sarcinile punctuale a fost considerată ca ceva întreg și neschimbător. S-a luat în considerare doar munca depusă atunci când asemenea taxe neschimbate s-au apropiat, dar nu și la formarea lor. Dimpotrivă, la derivarea formulelor (3), (4), am ținut cont și de munca efectuată la aplicarea taxelor q i la fiecare dintre corpurile sistemului prin transferul de electricitate în porțiuni infinit de mici din puncte infinit îndepărtate. Prin urmare, formulele (3), (4) determină energia electrică totală a sistemului de sarcini, iar formulele (1), (2) doar energia electrică a interacțiunii sarcinilor punctuale.

Densitatea de energie în vrac a câmpului electric

Energia electrică a unui condensator plat poate fi exprimată prin intensitatea câmpului dintre plăcile sale:

,

Unde
- cantitatea de spațiu ocupată de câmp, S- aria plăcilor, d- distanta dintre ele. Se dovedește că prin tensiune este posibilă exprimarea energiei electrice și a unui sistem arbitrar de conductori și dielectrici încărcați:

, (5)

,

iar integrarea se realizează pe întreg spațiul ocupat de câmp (se presupune că dielectricul este izotrop și
). Cantitatea w reprezintă energia electrică pe unitatea de volum. Forma formulei (5) sugerează că energia electrică este conținută nu în sarcinile care interacționează, ci în câmpul lor electric care umple spațiul. În cadrul electrostaticei, această ipoteză nu poate fi verificată experimental sau teoretic justificată; totuși, luarea în considerare a câmpurilor electrice și magnetice alternative permite verificarea corectitudinii unei astfel de interpretări de câmp a formulei (5).

Cursul 2.6.

Energia de interacțiune a sarcinilor

Luați în considerare un sistem de două sarcini punctiforme. Energia de interacțiune poate fi interpretată ca energia primei sarcini în câmpul celei de-a doua (vezi (2.1.3))

Deoarece ambele reprezentări sunt egale, energia de interacțiune a acestor sarcini poate fi scrisă după cum urmează

Unde - i-a-a sarcină punctuală a sistemului, este potențialul câmpului creat de toate celelalte sarcini ale sistemului, cu excepția i-asta, in punctul in care se afla taxa.

Dacă sarcinile sunt distribuite continuu, atunci, reprezentând sistemul de sarcini ca un set de sarcini elementare și trecând la integrare, obținem expresia

unde este energia de interacțiune a sarcinilor elementare ale primei bile între ele, este energia de interacțiune a sarcinilor elementare ale celei de-a doua bile între ele, este energia de interacțiune a sarcinilor elementare ale primei bile cu sarcinile elementare ale celei de-a doua mingi. Energie și apel propriile energii taxe și. Energia se numește energia interacțiunii taxe și.

Energia unui conductor solitar și a unui condensator

Lăsați conductorul să aibă sarcină și potențial. Energia conductorului. Deoarece conductorul este o regiune echipotențială, potențialul este eliminat din semnul integral. In cele din urma

Energia condensatorului.

Fie și sarcina și potențialul plăcii încărcate pozitiv și respectiv - negativ. Apoi energia condensatorului, luând în considerare și se va scrie

Energia câmpului electric.

Sensul fizic al energiei unui condensator nu este altceva decât energia unui câmp electric concentrat în interiorul acestuia... Să obținem o expresie pentru energia unui condensator plat în termeni de tensiune. Vom neglija efectele de margine. Vom folosi formula și expresia pentru capacitatea unui condensator plat.

Integrandul are aici semnificația energiei conținute în volum. Acest lucru duce la o idee importantă despre localizarea energiei în câmpul propriu-zis.

Această ipoteză este confirmată în domeniul câmpurilor variabile. Câmpurile alternative pot exista independent de sarcinile electrice care le excită și se propagă în spațiu sub formă de unde electromagnetice care transferă energie.

Astfel, purtătorul de energie este câmpul însuși.

Analizând ultima expresie, putem introduce densitatea de energie volumetrică, i.e. energia conținută într-o unitate de volum

Am obținut (2.6.8) și (2.6.9) în cazul particular al unui dielectric izotrop omogen într-un câmp electric omogen. In acest caz vectorii si sunt codirectionali si putem scrie

În limitele electrostaticei, este imposibil să se dea un răspuns la întrebarea unde este concentrată energia unui condensator. Câmpurile și sarcinile care le-au format nu pot exista izolat. Ele nu pot fi separate. Cu toate acestea, câmpurile alternante pot exista independent de sarcinile care le-au excitat (radiații de la soare, unde radio, ...) și transferă energie. Aceste fapte ne obligă să admitem că purtătorul de energie este un câmp electrostatic .

Când sarcinile electrice se mișcă, forțele interacțiunii Coulomb efectuează un anumit lucru d A... Munca efectuată de sistem este determinată de scăderea energiei de interacțiune -d W taxe

Energia de interacțiune a două sarcini punctiforme q 1 și q 2 la distanta r 12, este numeric egal cu munca de deplasare a sarcinii q 1 în domeniul unei încărcări staționare q 2 de la un punct cu potențial la un punct cu un potențial:

Este convenabil să notați energia de interacțiune a două sarcini într-o formă simetrică

.

(5.5.3)

Pentru un sistem de la n sarcini punctuale (Fig.5.14) datorate principiului suprapunerii pentru potential, in punctul de localizare k taxa, puteți scrie:

Aici φ k , i- potential i a-a încărcare la punctul de localizare k taxa. Suma exclude potențialul φ k , k, adică efectul sarcinii asupra ei însăși, care este egal cu infinitul pentru o sarcină punctiformă, nu este luat în considerare.

Apoi energia reciprocă a sistemului n taxele este egală cu:

(5.5.4)

Această formulă este valabilă numai dacă distanța dintre încărcături depășește semnificativ dimensiunile încărcăturilor în sine.

Să calculăm energia unui condensator încărcat. Condensatorul este format din două plăci inițial neîncărcate. Vom scădea treptat taxa d qși transferați-l pe placa de sus (fig. 5.15).

Ca urmare, apare o diferență de potențial între plăci. Fiecare parte a sarcinii este transferată, se efectuează o muncă elementară

Folosind definiția capacității, obținem

Munca totală cheltuită pentru creșterea încărcăturii plăcilor condensatorului de la 0 la q, este egal cu:

Această energie poate fi scrisă și ca

Forțele de interacțiune ale sarcinilor electrice sunt conservatoare, prin urmare, sistemul de sarcini electrice are energie potențială.

Să fie date două sarcini punctuale fixe q 1 și q 2 situate la distanță rîn afară. Fiecare dintre sarcinile din câmpul altei sarcini are energie potențială

; , (4.1)

unde j 1,2 și, respectiv, j 2,1 sunt potențialele create de sarcina q 2 în punctul în care sarcina q 1 și sarcina q 1 în punctul în care se află sarcina q 2.

, A . (4.3)

Prin urmare,

. (4.4)

Pentru ca ambele sarcini să intre simetric în ecuația de energie a sistemului, expresia (4.4) poate fi scrisă sub forma

. (4.5)

Adăugând sarcini succesive q 3, q ​​​​4 etc. la sistemul de sarcini, se poate asigura că în cazul N sarcini, energia potențială a sistemului

, (4.6)

unde j i este potențialul creat în punctul în care q i este situat de toate sarcinile, cu excepția i-a.

Cu o distribuție continuă a sarcinilor în volumul elementar dV, există o sarcină dq = r × dV. Pentru a determina energia de interacțiune a sarcinii dq, se poate aplica formula (4.6), trecând în ea de la sumă la integrală:

, (4.7)

unde j este potențialul în punctul elementului de volum dV.

Trebuie remarcat faptul că există o diferență fundamentală între formulele (4.6) și (4.7). Formula (4.6) ia în considerare numai energia de interacțiune între sarcinile punctuale, dar nu ia în considerare energia de interacțiune a elementelor de sarcină ale fiecăreia dintre sarcinile punctuale între ele (auto-energia unei sarcini punctiforme). Formula (4.7) ia în considerare atât energia de interacțiune dintre sarcinile punctuale, cât și energia proprie a acestor sarcini. Când se calculează energia de interacțiune a sarcinilor punctiforme, aceasta este redusă la integrale peste volumul V i al sarcinilor punctiforme:

, (4.8)

unde j i este potențialul în orice punct al volumului sarcinii punctiforme i-a;

j i = j i О + j i с, (4.9)

unde j i ¢ - potenţialul creat de alte sarcini punctiforme în acelaşi punct;

j i с - potențialul creat de părți din sarcina i-a punctuală într-un punct dat.

Deoarece sarcinile punctuale pot fi reprezentate ca simetrice sferic, atunci

(4.10)

unde W ¢ este determinat prin formula (4.6).

Valoarea energiei proprii a sarcinilor depinde de legile de distribuție a sarcinilor și de mărimea sarcinilor. De exemplu, pentru o distribuție sferică uniformă a sarcinilor cu o densitate de suprafață s

.

Prin urmare,

. (4.11)

Din formula (4.11) se vede că la R®0 valoarea lui W c ® ¥. Aceasta înseamnă că energia proprie a unei sarcini punctiforme este egală cu infinitul. Acest lucru duce la dezavantaje serioase ale conceptului de „încărcare punctuală”.

Astfel, formula (4.6) poate fi utilizată pentru a analiza interacțiunea sarcinilor punctiforme, deoarece nu conține propria lor energie. Formula (4.7) pentru o distribuție continuă a sarcinii ia în considerare întreaga energie de interacțiune, prin urmare, este mai generală.

În prezența sarcinilor de suprafață, forma formulei (4.7) se modifică oarecum. Integrandul acestei formule este si are semnificatia energiei potentiale pe care o poseda elementul de sarcina dq, fiind intr-un punct cu potentialul j. Această energie potențială nu depinde de faptul dacă dq este un element de încărcare spațială sau de suprafață. Prin urmare, pentru distribuția de suprafață, dq = s × dS. În consecință, pentru energia câmpului sarcinilor de suprafață

Fie două sarcini punctuale q 1 și q 2 sunt în vid la o distanță r una de cealaltă. Se poate demonstra că energia potențială a interacțiunii lor este dată de formula:

W = kq 1 q 2 / r (3)

Acceptăm formula (3) fără dovezi. Două caracteristici ale acestei formule ar trebui discutate.

În primul rând, unde este nivelul de energie potențială zero? La urma urmei, energia potențială, așa cum se poate vedea din formula (3), nu poate dispărea. Dar, de fapt, nivelul zero există și este la infinit. Cu alte cuvinte, atunci când sarcinile sunt situate infinit departe una de cealaltă, se presupune că energia potențială a interacțiunii lor este zero (ceea ce este logic - în acest caz, sarcinile nu mai „interacționează”). În al doilea rând, q 1 și q 2 sunt din nou cantități algebrice de sarcini, adică. taxe ținând cont de semnul acestora.

De exemplu, energia potențială de interacțiune a două sarcini asemănătoare va fi pozitivă. De ce? Dacă le lăsăm să plece, vor începe să accelereze și să se îndepărteze unul de celălalt.

Energia lor cinetică crește, deci energia potențială scade. Dar la infinit energia potențială dispare și, deoarece scade la zero, înseamnă că este pozitivă.

Dar energia potențială de interacțiune a sarcinilor diferite se dovedește a fi negativă. Într-adevăr, să le îndepărtăm la o distanță foarte mare unul de celălalt - astfel încât energia potențială să fie zero - și să le dăm drumul. Sarcinile vor începe să se accelereze, se apropie, iar energia potențială scade din nou. Dar dacă era zero, atunci unde ar trebui să coboare? Doar spre valori negative.

Formula (3) ajută și la calcularea energiei potențiale a unui sistem de sarcini dacă numărul de sarcini este mai mare de două. Pentru a face acest lucru, trebuie să însumați energiile fiecărei perechi de sarcini. Nu vom scrie o formulă generală; Să ilustrăm mai bine ceea ce s-a spus cu un exemplu simplu prezentat în Fig. opt

Orez. opt.

Dacă sarcinile q 1, q 2, q 3 sunt la vârfurile unui triunghi cu laturile a, b, c, atunci energia potențială a interacțiunii lor este egală cu:

W = kq 1 q 2 / a + kq 2 q 3 / b + kq 1 q 3 / c

Potenţial

Din formula W = - qEx vedem că energia potențială a sarcinii q într-un câmp uniform este direct proporțională cu această sarcină. La fel vedem din formula W = kq 1 q 2 / r energia potențială a sarcinii q 1 situată în câmpul unei sarcini punctuale q 2 este direct proporțională cu mărimea sarcinii q 1. Se dovedește că acesta este un fapt general: energia potențială W a unei sarcini q în orice câmp electrostatic este direct proporțională cu valoarea lui q:

Mărimea q nu mai depinde de sarcină, este o caracteristică a câmpului și se numește potențial:

Deci, potențialul unui câmp uniform E într-un punct cu o abscisă x este egal cu:

Amintiți-vă că axa X coincide cu linia intensității câmpului. Vedem că potențialul scade odată cu creșterea x. Cu alte cuvinte, vectorul intensității câmpului indică direcția scăderii potențiale. Pentru potențialul câmpului unei sarcini punctiforme q la o distanță r de aceasta, avem:

Unitatea de măsură pentru potențial este binecunoscutul volt. Din formula (5) vedem că B = J / C.

Deci, acum avem două caracteristici ale câmpului: puterea (intensitatea) și energia (potențialul). Fiecare dintre ele are propriile sale avantaje și dezavantaje. Ce caracteristică este mai convenabilă de utilizat depinde de sarcina specifică.